Estadística 2 del Centro Educativo Cuautitlán : 2015

Probabilidad condicional

Teoría básica de probabilidad condicional y eventos independientes

Mapa conceptual sobre probabilidad condicional y eventos independientes

Probabilidad Condicional:

Se define como la probabilidad de que suceda un evento dado que antes de este ya ocurrió otro, se denota de la siguiente forma

P(A/B) = P(AB) / P(B) ; Se lee probabilidad de que suceda A dado que ya ocurrió B

P(B/A) = P(AB) / P(A) ; Se lee probabilidad de que suceda B dado que ya ocurrió A

Cuando los eventos A y B pertenecen a un mismo espacio muestral, también se puede calcular la probabilidad condicional, por medio de una reducción del espacio muestral simple o conjunto así:

Ejemplo 1

En un grupo de estudiantes hay 6 de estrato alto, 14 de estrato medio y 10 de estrato bajo, se sabe que de los que ganaron matemáticas con una nota de excelente fueron 2, 7 y 6 respectivamente, si se selecciona un estudiante de los que saco excelente en regalarle una boleta para ir al cine y este fue un estudiante de los que saco excelente en matemáticas. ¿Cual es la probabilidad de que halla sido seleccionado un estudiante de estrato bajo?

Solucion:

Eventos A: Pertenecer al estrato alto
M: Pertenecer al estrato medio
B: Pertenecer al estrato bajo
G: Ganar matemáticas en excelente

La pregunta responder es calcular una probabilidad condicional, ya que se sabe que el estudiante seleccionado fue un estudiante de los que saco excelente en matemáticas, entonces

Se puede realizar aplicando la definición de probabilidad condicional.

P(B/G) = P(BG) / P(G) ,Entonces P(B/G) = 0.2/0.5 = 0.4

P(BG) = 6/30 = 0.2 P(G) = 15/30 = 0.5

También se puede realizar aplicando una reducción del espacio muestral así:

P(B/G) = 6/15 = 0.4

Como el evento B ya ocurrió este brinda información de tal forma que el espacio muestral se puede reducir solo a los que sacaron excelente en matemáticas que son 15 estudiantes, de los cuales seis pertenecen a estrato bajo

Ejemplo 2

En una bolsa hay 10 bolas negras, 11 bolas blancas, 5 bolas azules y 4 bolas verdes, si se saca una bola al azar.

a) Cual es la probabilidad de los siguientes eventos:

A: Sea una bola negra.
B: Sea una bola blanca.
C: Sea una bola azul.
D: Sea una bola verde.

b) Suponga que ya se sacaron dos bolas azules, tres bolas negras una bola de cada uno de los otros colores, cual es la probabilidad de que la siguiente bola sea:

A: Sea una bola negra.
B: Sea una bola blanca.
C: Sea una bola azul.
D: Sea una bola verde.

La solución del punto a es muy sencilla, simplemente seria aplicar el calculo de probabilidades por conteo de puntos muestrales, así:

P(A) = 10/30 = 1/3 y de igual forma para las otras probabilidades pedidas.

La solución del punto b, es una probabilidad condicional, de tal forma que se podrían plantear los siguientes eventos

F: Ya salieron dos bolas azules
G: Ya salieron tres bolas negras
H: Ya salió una bola blanca
I: Ya salió una bola verde

Se calcula la probabilidad de A dado FGHI, de la siguiente forma

P(A / FHGHI) = 7/23 y de igual manera para las otras probabilidades

Ejemplo 3

En un estudio sobre la preferencia de hombres y mujeres por los dispositivos externos para guardar información se tuvieron los siguientes resultados

a. Calcular la probabilidad conjunta y marginal
b. Calcular la probabilidad de que al escoger una persona sea de sexo masculino dado que usa CD.
c. Calcular la probabilidad de que al escoger una persona sea de sexo femenino dado que usa Memoria USB

Solución

a. Probabilidad conjunta y marginal

b. Se resuelve utilizando el algoritmo

P(M / C) = P(MC) / P(C) = 0.21875/0.42708 = 0.5122

Sin embargo se puede calcular utilizando la reducción del espacio muestral

P(M / C) = 105/205 = 0.5122

Nótese que se redujo el espacio muestral solo a las personas que usan CD y de estas 105 son hombres

c. De la misma forma anterior se calcula

P(F / U) = 60/110 = 0.54545

Nótese que se redujo el espacio muestral solo a las personas que usan USB y de estas 60 son Mujeres

Eventos Independientes: Dos o mas eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de cualquiera de los eventos no afecta la probabilidad de ocurrencia de los otros eventos.

Por lo tanto

P(A/B) = P(A) P(A/BC...) = P(A)

En forma general

P(B/A) = P(B) P(B/AC...) = P(B)

Nota: La independencia se da entre eventos que pertenezcan a espacios muestrales diferentes y disyunción entre eventos que pertenecen a un mismo espacio muestral.

Unidad 2 Probabilidad Condicional 2.1 conceptos de Evento, Espacio muestral, teorema de Bayes,

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6).

Ley de Laplace

Sucesos incompatibles

B =

p(A B) = p(A) + p(B)

Sucesos compatibles

B ≠

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)

Probabilidad condicionada

Sucesos independientes

p(A B) = p(A) · p(B)

Sucesos dependientes

p(A B) = p(A) · p(B/A)

Diferencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

p(B) = p(A₁) · p(B/A₁) + p(A₂) · p(B/A₂) + ... + p(A_n) · p(B/A_{_n})

Teorema de Bayes

Propiedades

0 ≤ p(A) ≤ 1

p(E) = 1

Ejemplo:

ean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A intersección

B)= 1/4. Determinar:

2Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A intersección

B) = 1/5. Determinar:

3En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

4De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1Las dos sean copas

2Al menos una sea copas

3Una sea copa y la otra espada

5Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

6Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

1¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

7Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana

8Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1Seleccionar tres niños

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña

3Seleccionar por lo menos un niño

4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

9Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

10Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

1Probabilidad de que la segunda bola sea verde

2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color

11En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

1Juegue sólo al fútbol

2Juegue sólo al baloncesto

3Practique uno solo de los deportes

4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

12En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

1Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

13En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

1¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

14Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:

1Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B

2Probabilidad de que la bola sea blanca

15Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

1Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

16En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

1¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

17Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

1Con una persona sin gafas

2Con una mujer con gafas

18En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

1¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A intersección

B)= 1/4. Determinar:

1.2 Calculo y tamaño de muestras

1.1) POBLACIÓN.- Llamado también universo o colectivo, es el conjunto de todos los elementos que tienen una característica común. Una población puede ser finita o infinita. Es población finita cuando está delimitada y conocemos el número que la integran, así por ejemplo: Estudiantes de la Universidad UTN. Es población infinita cuando a pesar de estar delimitada en el espacio, no se conoce el número de elementos que la integran, así por ejemplo: Todos los profesionales universitarios que están ejerciendo su carrera.

1.2) MUESTRA.- La muestra es un subconjunto de la población. Ejemplo: Estudiantes de 2do Semestre de la Universidad UTN.

Sus principales características son:

Representativa.- Se refiere a que todos y cada uno de los elementos de la población tengan la misma oportunidad de ser tomados en cuenta para formar dicha muestra.

Adecuada y válida.- Se refiere a que la muestra debe ser obtenida de tal manera que permita establecer un mínimo de error posible respecto de la población.

Para que una muestra sea fiable, es necesario que su tamaño sea obtenido mediante procesos matemáticos que eliminen la incidencia del error.

1.3) ELEMENTO O INDIVIDUO

Unidad mínima que compone una población. El elemento puede ser una entidad simple (una persona) o una entidad compleja (una familia), y se denomina unidad investigativa.

2) FÓRMULA PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA

Para calcular el tamaño de la muestra suele utilizarse la siguiente fórmula:

Donde:

n = el tamaño de la muestra.

N = tamaño de la población.

Desviación estándar de la población que, generalmente cuando no se tiene su valor, suele utilizarse un valor constante de 0,5.

Z = Valor obtenido mediante niveles de confianza. Es un valor constante que, si no se tiene su valor, se lo toma en relación al 95% de confianza equivale a 1,96 (como más usual) o en relación al 99% de confianza equivale 2,58, valor que queda a criterio del investigador.

e = Límite aceptable de error muestral que, generalmente cuando no se tiene su valor, suele utilizarse un valor que varía entre el 1% (0,01) y 9% (0,09), valor que queda a criterio del encuestador.

La fórmula del tamaño de la muestra se obtiene de la fórmula para calcular la estimación del intervalo de confianza para la media, la cual es: